PE – É valida a aproximación utilizada na práctica de interferencia e difracción proposta pola CiUG?

A determinación da  lonxitude de onda dun láser a partir das medidas dos patróns de interferencia nunha rede de difracción é unha das prácticas propostas polo Grupo de Traballo de Física da CiUG. É un experimento sinxelo e moi didáctico que se pode realizar facilmente na aula co material do Photonics  Explorer do Grupo XuvenCiencia.

Montaxe experimental cos elementos do Kit Photonics Explorer

 

A lonxitude de onda do láser determínase a partir da distancia entre as posicións do máximo central e do primeiro máximo de interferencia (ou da mitade da distance entre os dous máximos lateraís).

Xeometría do experimento cos triangulos semellantes.

 

Na figura observamos dous triángulos semellantes: a relación entre a distancia y entre os dous máximos e a distancia D’ desde a rede ao primeiro máximo (hipotenusa do triangulo grande) é igual cá relación entre a lonxitude de onda λ e a distancia d entre ás liñas da rede (hipotenusa do triangulo pequeno).

    \[{\lambda \over d} = {y \over {D'}}\]

A distancia D’ é maior que a distancia D directa entre a rede e o máximo central na pantalla e pódese calcular aplicando o teorema de Pitágoras D’ 2 = D2 + y2.

Na práctica do Grupo de Traballo de Física da CiUG (http://ciug.gal/PDF/pracorientfisica18.pdf) suponse que estas dúas distancias sexan aproximadamente iguais e substitúese D’ por D, sen mencionar a aproximación e as súas limitacións.

Que erro introducimos con esta aproximación DD’? É xustificada? Imos obter un valor da lonxitude de onda correcto? En canto se desvía a lonxitude de onda do valor exacto con esta aproximación?

Nunha contribución anterior neste blog (https://xuvenciencia.org/blog/pe-experiencias-co-kit-photonics-explorer-no-ies-ribeira-do-louro-de-o-porrino/) o profesor Marcelino José Veiguela Fuentes do IES Ribeira do Louro do Porriño presentou un xeito de utilizar esta aproximación nunha práctica para presentarlle ao alumnado o concepto das aproximacións na física.

Nesta contribución analizaremos brevemente como afecta a aproximación ao valor obtido de λ e como depende do tipo da rede e da cor do láser.

A lonxitude de onda exacta e a aproximada son entón:

    \[{\lambda _{exacta}} = d{y \over {D'}}\]

    \[{\lambda _{aprox}} = d{y \over D}\]

A relación entre o valor aproximado e o exacto depende da lonxitude de onda do láser e da distancia entre as liñas da rede d:

    \[{{{\lambda _{aprox}}} \over {{\lambda _{exacta}}}} = {{D'} \over D} = {d \over x} = {d \over {\sqrt {{d^2} - {\lambda ^2}} }} = {1 \over {\sqrt {1 - {{(\lambda /d)}^2}} }}\]

Na seguinte táboa presentamos algúns exemplos para redes, fendas e láseres típicos calculados con esta relación:

Rede/Fenda λexacta/nm liñas/mm d/μm D’/D λaproxexacta λaprox/nm
Láser vermello
Rede 1 (Kit Photonics Explorer) 650,0 1.000 1,0 1,315 131,6% 855,3
Rede 2 (IES Ribeira do Louro) 650,0 527,5 1,9 1,064 106,5% 691,9
Rede 3
650,0 500 2,0 1,057 105,7% 687,3
Dobre fenda 2 (80 um) 650,0 12,5 80,0 1,000033 100,0% 650,021
Dobre fenda 1 (200 um) 650,0 5,0 200,0 1,000005 100,0% 650,003
Láser verde    
Rede 1 (Kit Photonics Explorer)  520,0    1.000,0    1,0  1,170 117,1% 608,8
Rede 2 (IES Ribeira do Louro)  520,0  527,5    1,9  1,040 104,0% 540,7
Rede 3
 520,0  500,0    2,0  1,036 103,6% 538,5
Dobre fenda 2 (80 um)  520,0  12,5  80,0    1,000021 100,0% 520,011
Dobre fenda 1 (200 um)  520,0  5,0  200,0    1,000003 100,0% 520,002

Observamos que a aproximación DD’  ten un efecto importante sobre os resultados. Coa rede de difracción de 1000 liñas/mm e o láser vermello do kit determínase unha lonxitude de onda aproximada de 855 nm en vez do valor correcto de 650 nm – unha desviación moi importante dun 32%. Pero aínda cunha rede de 500 liñas/mm o valor obtido é de 692 nm, moito maior có valor exacto. Cun láser verde os erros son algo menores.

Resumindo podemos afirmar que coas redes de difracción típicas de máis de 500 liñas/mm a desviación é maior có erro experimental. Nestes casos fai falta aplicar a ecuación exacta co teorema de Pitágoras:

    \[{\lambda _{exacta}} = d{y \over {D'}} = d{y \over {\sqrt {{D^2} + {y^2}} }}\]

Nas seguintes gráficas representamos a lonxitude de onda obtida coa aproximación e a relación λaproxexacta para diferentes láseres en función do número de liñas/mm da rede de difracción:

Lonxitude de onda aproximada e a relación λaprox/λexacta para diferentes láseres en función do número de liñas/mm da rede de difracción

 

Un exemplo:

No experimento da foto do inicio as distancias son D = 95 mm, y = 80 mm e a rede ten 1000 liñas/mm (d = 1 mm/1000 = 10-3 mm). A lonxitude de onda aproximada é entón λaprox = d·y/D = 10-3 mm · 80 mm / 95 mm = 0,84 · 10-3 mm = 840 nm. Do teorema de Pitágoras obtemos a distancia D’ = 124 mm e con este valor a lonxitude de onda exacta λexacta = d·y/D’ = 10-3 mm · 80 mm / 124 mm = 0,645 · 10-3 mm = 645 nm, un valor moi achegado ao valor nominal do láser do kit de 650 nm.

Un erro na lectura das distancias D e y de 1 mm corresponde a un erro relativo de 1mm/95mm e 1mm/80mm ou aproximadamente dun 1%. Este erro relativo propágase ao resultado e leva a un erro na determinación da lonxitude de onda duns 6 nm (un 1% de 645 nm): λexacta = 645±6 nm. (Non temos en conta o erro na distancia d entre a liñas da rede xa que é probablemente moito mais pequeno que 1%).

Fendas:

A situación é moi diferente coas fendas do kit ou no experimento cun pelo como fenda inversa. Nestes casos a distancia y é moito máis pequena cás distancias D ou D’ e como consecuencia a aproximación DD’ é moi boa. Os erros na determinación de λ son moito menores có erro experimental.

Wajih Al-Soufi, XuvenCiencia, USC

Deixa unha resposta

O teu enderezo electrónico non se publicará Os campos obrigatorios están marcados con *