A determinación da lonxitude de onda dun láser a partir das medidas dos patróns de interferencia nunha rede de difracción é unha das prácticas propostas polo Grupo de Traballo de Física da CiUG. É un experimento sinxelo e moi didáctico que se pode realizar facilmente na aula co material do Photonics Explorer do Grupo XuvenCiencia.
A lonxitude de onda do láser determínase a partir da distancia entre as posicións do máximo central e do primeiro máximo de interferencia (ou da mitade da distance entre os dous máximos lateraís).
Na figura observamos dous triángulos semellantes: a relación entre a distancia y entre os dous máximos e a distancia D’ desde a rede ao primeiro máximo (hipotenusa do triangulo grande) é igual cá relación entre a lonxitude de onda λ e a distancia d entre ás liñas da rede (hipotenusa do triangulo pequeno).
![\[{\lambda \over d} = {y \over {D'}}\]](https://xuvenciencia.org/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-631112b8f11de9d68727a9d17609cafb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
A distancia D’ é maior que a distancia D directa entre a rede e o máximo central na pantalla e pódese calcular aplicando o teorema de Pitágoras D’ 2 = D2 + y2.
Na práctica do Grupo de Traballo de Física da CiUG (http://ciug.gal/PDF/pracorientfisica18.pdf) suponse que estas dúas distancias sexan aproximadamente iguais e substitúese D’ por D, sen mencionar a aproximación e as súas limitacións.
Que erro introducimos con esta aproximación D ≈ D’? É xustificada? Imos obter un valor da lonxitude de onda correcto? En canto se desvía a lonxitude de onda do valor exacto con esta aproximación?
Nunha contribución anterior neste blog (https://xuvenciencia.org/blog/pe-experiencias-co-kit-photonics-explorer-no-ies-ribeira-do-louro-de-o-porrino/) o profesor Marcelino José Veiguela Fuentes do IES Ribeira do Louro do Porriño presentou un xeito de utilizar esta aproximación nunha práctica para presentarlle ao alumnado o concepto das aproximacións na física.
Nesta contribución analizaremos brevemente como afecta a aproximación ao valor obtido de λ e como depende do tipo da rede e da cor do láser.
A lonxitude de onda exacta e a aproximada son entón:
![\[{\lambda _{exacta}} = d{y \over {D'}}\]](https://xuvenciencia.org/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db7e42098c99a1ca67c64b3e58c7a749_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{\lambda _{aprox}} = d{y \over D}\]](https://xuvenciencia.org/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b6140ba98b975a38697029cfde73cdc8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
A relación entre o valor aproximado e o exacto depende da lonxitude de onda do láser e da distancia entre as liñas da rede d:
![\[{{{\lambda _{aprox}}} \over {{\lambda _{exacta}}}} = {{D'} \over D} = {d \over x} = {d \over {\sqrt {{d^2} - {\lambda ^2}} }} = {1 \over {\sqrt {1 - {{(\lambda /d)}^2}} }}\]](https://xuvenciencia.org/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d709898eb034a67402b402498649d2ba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Na seguinte táboa presentamos algúns exemplos para redes, fendas e láseres típicos calculados con esta relación:
| Rede/Fenda | λexacta/nm | liñas/mm | d/μm | D’/D | λaprox/λexacta | λaprox/nm |
| Láser vermello | ||||||
| Rede 1 (Kit Photonics Explorer) | 650,0 | 1.000 | 1,0 | 1,315 | 131,6% | 855,3 |
| Rede 2 (IES Ribeira do Louro) | 650,0 | 527,5 | 1,9 | 1,064 | 106,5% | 691,9 |
| Rede 3 |
650,0 | 500 | 2,0 | 1,057 | 105,7% | 687,3 |
| Dobre fenda 2 (80 um) | 650,0 | 12,5 | 80,0 | 1,000033 | 100,0% | 650,021 |
| Dobre fenda 1 (200 um) | 650,0 | 5,0 | 200,0 | 1,000005 | 100,0% | 650,003 |
| Láser verde | ||||||
| Rede 1 (Kit Photonics Explorer) | 520,0 | 1.000,0 | 1,0 | 1,170 | 117,1% | 608,8 |
| Rede 2 (IES Ribeira do Louro) | 520,0 | 527,5 | 1,9 | 1,040 | 104,0% | 540,7 |
| Rede 3 |
520,0 | 500,0 | 2,0 | 1,036 | 103,6% | 538,5 |
| Dobre fenda 2 (80 um) | 520,0 | 12,5 | 80,0 | 1,000021 | 100,0% | 520,011 |
| Dobre fenda 1 (200 um) | 520,0 | 5,0 | 200,0 | 1,000003 | 100,0% | 520,002 |
Observamos que a aproximación D ≈ D’ ten un efecto importante sobre os resultados. Coa rede de difracción de 1000 liñas/mm e o láser vermello do kit determínase unha lonxitude de onda aproximada de 855 nm en vez do valor correcto de 650 nm – unha desviación moi importante dun 32%. Pero aínda cunha rede de 500 liñas/mm o valor obtido é de 692 nm, moito maior có valor exacto. Cun láser verde os erros son algo menores.
Resumindo podemos afirmar que coas redes de difracción típicas de máis de 500 liñas/mm a desviación é maior có erro experimental. Nestes casos fai falta aplicar a ecuación exacta co teorema de Pitágoras:
![\[{\lambda _{exacta}} = d{y \over {D'}} = d{y \over {\sqrt {{D^2} + {y^2}} }}\]](https://xuvenciencia.org/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48654eece45a38e11218325dbadb1121_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nas seguintes gráficas representamos a lonxitude de onda obtida coa aproximación e a relación λaprox/λexacta para diferentes láseres en función do número de liñas/mm da rede de difracción:
Un exemplo:
No experimento da foto do inicio as distancias son D = 95 mm, y = 80 mm e a rede ten 1000 liñas/mm (d = 1 mm/1000 = 10-3 mm). A lonxitude de onda aproximada é entón λaprox = d·y/D = 10-3 mm · 80 mm / 95 mm = 0,84 · 10-3 mm = 840 nm. Do teorema de Pitágoras obtemos a distancia D’ = 124 mm e con este valor a lonxitude de onda exacta λexacta = d·y/D’ = 10-3 mm · 80 mm / 124 mm = 0,645 · 10-3 mm = 645 nm, un valor moi achegado ao valor nominal do láser do kit de 650 nm.
Un erro na lectura das distancias D e y de 1 mm corresponde a un erro relativo de 1mm/95mm e 1mm/80mm ou aproximadamente dun 1%. Este erro relativo propágase ao resultado e leva a un erro na determinación da lonxitude de onda duns 6 nm (un 1% de 645 nm): λexacta = 645±6 nm. (Non temos en conta o erro na distancia d entre a liñas da rede xa que é probablemente moito mais pequeno que 1%).
Fendas:
A situación é moi diferente coas fendas do kit ou no experimento cun pelo como fenda inversa. Nestes casos a distancia y é moito máis pequena cás distancias D ou D’ e como consecuencia a aproximación D ≈ D’ é moi boa. Os erros na determinación de λ son moito menores có erro experimental.
