Modelos matemáticos para enfermidades transmisibles. O modelo SIR

Como predicimos o desenvolvemento dunha pandemia como a da COVID-19? Analiza e compara distintas epidemias ao longo da historia da humanidade

Por: Ceferino M. López Sández, Wajih Al-Soufi

Unidade didáctica para alumnado de secundaria

Recursos para descargar: Folla de cálculo (Galego, Castelán), Documento en pdf (Galego, Castelán)

Propoñemos nesta nova entrada do blog de XuvenCiencia unhas actividades para que sexades quen de usar o modelo SIR, do que tanto se fala estas semanas nos medios de comunicación, nunha folla de cálculo, co obxectivo de procurar predicir o comportamento de diferentes doenzas epidémicas. Achegamos todas as instrucións, datos, información e unhas cantas preguntas sen resolver. Queredes darlles resposta?

Contido

Os modelos matemáticos das epidemias
– Factores que se utilizan nos modelos matemáticos
O modelo SIR
– Taxa de variación do estado Sensibles
– Taxa de variación do estado Infectados
– Taxa de variación do estado Recuperados
– Análise do modelo
– O modelo SIR nunha folla de cálculo
– Actividades.- Predicións do modelo SIR para diferentes escenarios
– Medidas de mitigación
Epidemias no pasado
Glosario
Máis información

Os modelos matemáticos das epidemias

As epidemias son comúns na poboación humana —e tamén animal, onde algunhas epidemias provocaron na humanidade moitos problemas por fames negras, como a peste bovina—. A epidemioloxía, ciencia que estuda o comportamento das enfermidades nas poboacións, obtén os datos mediante unha monitorización continua das variacións nas poboacións sensibles de variables consideradas como indicadores de enfermidade, antes de que aparezan síntomas clínicos. Coa monitorización continua, o coñecemento sobre a causa das enfermidades e as vías de transmisión pódese prognosticar a aparición dunha enfermidade e, aplicando factores de corrección, mitigar o impacto sobre a poboación.

Unha das ferramentas que utiliza a epidemioloxía son os modelos matemáticos, que permiten coñecer os mecanismos de transmisión e controlar o contaxio; permítennos, ademais, observar circunstancias que noutras condicións estarían ocultas e tamén ver que variacións se producen nos resultados ao cambiar as condicións do modelo, evitando experimentos sobre os pacientes.

O primeiro modelo matemático aplicouno Daniel Bernouilli no século XVIII, para valorar se a variolización, que comportaba un certo risco de infección e morte, xeraba unhas expectativas mellores de vida que non aplicala. A partir dese momento, empezouse a desenvolver a epidemioloxía matemática.

Os modelos básicos para describir a transmisión de enfermidades transmisibles en condicións epidémicas foron desenvolvidos por Kermack e McKendrick en 1927 (doi 10.1098/rspa.1927.0118). Veremos aquí como funcionan estes modelos epidemiolóxicos co exemplo do modelo SIR, base doutros moito máis complexos que se utilizan para analizar a pandemia da COVID-19.

Factores que se utilizan nos modelos matemáticos

Tipos de estado polos que pode pasar cada individuo:

M-Inmunidade pasiva Materna: Individuos con inmunidade temporal (inmunidade pasiva en neonatos. En algunhas enfermidades os bebés non nacen susceptibles, pero son inmunes á doenza durante os primeiros meses de vida debido á protección adquirida dos anticorpos maternos).

S–Sensibles, Susceptibles: individuos sans e susceptibles de seren infectados.

E–Expostos: individuos infectados en fase latente (aínda non poden contaxiar a outros).

I–Infectados: individuos infectados e capaces de contaxiar a outros.

R–Recuperados, Resistentes: individuos resistentes á enfermidade (tras recuperación ou vacina). Tamén podemos denominalos Retirados, se consideramos a posibilidade de morte e/ou confinamento.

Forma de transmisión, que varía entre as enfermidades

O modelo que se aplica depende moitas veces do axente infeccioso causante da enfermidade. No caso de que sexa unha bacteria, normalmente os individuos, despois de recuperarse, volven ao estado de sensibles ou susceptibles sen desenvolver inmunidade, polo que os modelos adecuados serían os SIS, SEIS ou MSEIS, segundo os tipos de estado en que poden estar os individuos. Exemplo: SIS: Susceptible → Infectado → Susceptible

No caso da maior parte dos virus, os individuos, despois da infección e recuperación, adoitan adquirir unha resistencia (ou inmunidade) que impide unha nova infección. Neste tipo de enfermidades os modelos máis adecuados serán os SIR, SEIR ou MSEIR. Exemplo: SIR: Susceptible → Infectado → Recuperado

O indicador básico para os modelos epidemiolóxicos é R₀, número básico de reprodución ou taxa de reprodución básica, que xa definimos en entradas anteriores como o número medio de casos novos —infeccións secundarias— que pode producir un individuo infectado introducido nunha poboación susceptible, aínda sen infectados ou recuperados. A infección prodúcese nunha poboación susceptible só se R₀ > 1. Por iso R₀ é a cantidade limiar que determina se unha infección pode invadir e persistir nunha nova poboación.

Ademais de R₀ existen outros indicadores que debemos considerar, como o número de contacto σ, que se define como o número medio de contactos adecuados dun infectado durante o seu período infeccioso. Un contacto é adecuado para a transmisión se o contacto do susceptible é cun contaxioso. Outro é R_r, número de substitución, ou número de reprodución, entendido como o número medio de infeccións secundarias producidas por un infeccioso durante todo o período de infección. R₀ e R son iguais ao comezo da propagación dunha enfermidade infecciosa cando toda a poboación, excepto o primeiro suxeito infeccioso, é susceptible.

O modelo SIR ↑

Veremos aquí como funciona e como programar o modelo clásico SIR, típico dunha enfermidade vírica, que desenvolveremos para un brote epidémico de duración limitada.

Un brote epidémico real é moi complexo e depende de moitos factores, que ademais cambian durante a duración deste.

→ Que factores poden influír en como se propaga unha enfermidade vírica nunha poboación?

Para poder describir a epidemia cun modelo matemático abordable temos que simplificar a realidade. Asumimos unha poboación grande cun número constante de individuos. Non teremos en conta os nacementos, e as mortes incluímolas de momento no estado R, denominado entón Retirado. Así mesmo, omitimos o estado M, xa que desprezamos o número de nacementos que xeran a inmunidade temporal. Non consideramos tampouco a categoría E, que é variable en cada individuo, e consideramos un individuo infectado como infeccioso para os demais sen período de incubación. Desta maneira, nace o modelo SIR.

Que nos ofrece un modelo SIR?

Se coñecemos os parámetros dunha epidemia, ou nos podemos aproximar a eles, un modelo SIR permítenos estimar:

Como se propagará unha enfermidade ao longo do tempo.
O máximo número de infectados, para saber as necesidades sanitarias.
Que parte da poboación se vai infectar.
Estimar a súa duración.

Asumiremos outras simplificacións para podermos determinar ecuacións máis sinxelas:

A poboación analizada é constante, asumindo un brote curto.
O número total de individuos N é a suma dos individuos nos tres estados SIR. Denominamos o número de individuos en cada estado coas mesmas letras S, I e R de cada un deles. Entón a suma S + I + R = N é constante.
A transmisión da enfermidade é proporcional ao contacto entre persoas das categorías S e I e mantense tamén constante.
A taxa de retirados (recuperados + mortos) mantense constante.
Todos os individuos teñen a mesma probabilidade de infectárense (non en todas as enfermidades é así).
Inicialmente non temos en conta medidas de corrección como o confinamento ou a vacinación

Con estas simplificacións controlamos o desenvolvemento da epidemia con tres parámetros sinxelos:

DM: A duración media da enfermidade en cada individuo (en días).

TI: A taxa diaria de interacción dun individuo. É o número medio de contactos próximos que ten un individuo con outras persoas nun día. Unha persoa ten en xeral moitos contactos ao día, pero en TI contamos soamente contactos o suficientemente próximos para que sexan potencialmente transmisores da enfermidade. En TI contan contactos con persoas dos tres estados S, I e R.

PC: A probabilidade de contaxio durante un contacto entre un individuo infectado e outro sensible.

Empezamos o modelo da epidemia cun determinado número total de individuos N. Todos eles son sans e sensibles, excepto un. O número de individuos sensibles é entón S = N -1, de infectados I = 1, e de recuperados ou retirados R = 0.

Como cambia o número de individuos en cada un dos tres estados S, I, R ao longo do tempo? Usaremos os tres parámetros, DM, TI e PC, para calcular as taxas de variación de S, I e R:

Taxa de variación do estado Sensibles no tempo

Ao principio practicamente toda a poboación é sa e sensible. Pero o número de sensibles S vai diminuíndo polos contaxios que se producen durante os contactos dos infectados cos individuos sensibles, cunha certa probabilidade de contaxio en cada contacto.

→ Cantos contactos con outras persoas ten un infectado cada día? Podes calculalo coas variables S, I, R e os parámetros DM, TI e PC?

Tentaremos calcular o número de contaxios que se producen cada día. Un infectado ten cada día TI interaccións con outros individuos, sensibles, infectados e recuperados. Os contactos con outros infectados e con recuperados non producen novos contaxios. Para contar só os contactos con sensibles multiplicamos TI pola relación de sensibles no total de individuos S/N. Así, TI·S/N é o número de contactos con sensibles. A probabilidade de contaxio en cada un destes contactos é PC, polo que un infectado contaxia cada día a TI·S/N·PC novos individuos. Finalmente, o total de novos contaxios diarios por todos os infectados é: contaxios = I·TI·S/N·PC.

Agora que coñecemos o número de contaxios novos podemos calcular o cambio no número de sensibles: “S diminúe cada día polo número de contaxios novos diarios”.

Matematicamente escribimos esta taxa de variación do número de sensibles diaria como derivada de S con respecto ao tempo t:

(1) $\begin{equation*} \frac{{dS}}{{dt}} = - {\rm{\;}}\mathit{contaxios} = {\rm{\;}} - {\rm{\;}}I\cdot \mathit{TI}\cdot{\rm{\;}}\frac{S}{N}\cdot \mathit{PC} \end{equation*}$

“O cambio de S co tempo é igual ao negativo do número de contaxios diario.” O signo negativo indica que o número de sensibles diminúe ao aumentar o número de contaxios.

Para calcular esta variación nunha folla de cálculo para un día (i), usamos os valores de I e S do día anterior (i -1):

(2) $\begin{equation*} {S_{{\rm{d\'i a\;}}i}} - {S_{{\rm{d\'i a\;}}i - 1}} = {\rm{\;}} - {\rm{\;}}{I_{{\rm{dia\;}}i - 1}}\cdot \mathit{TI}\cdot{\rm{\;}}\frac{{{S_{{\rm{dia\;}}i - 1}}}}{N}\cdot \mathit{PC} \end{equation*}$

Taxa de variación do estado Infectados no tempo

O número de infectados é inicialmente pequeno, pero vai aumentando na medida que se producen contaxios. Pero, os infectados recupéranse despois dun certo tempo, o cal reduce o número de infectados.

“O número de infectados I aumenta cada día polo número de contaxios novos e diminúe polo número de recuperacións” (en realidade das recuperacións e mortes):

(3) $\begin{equation*} \frac{{dI}}{{dt}} = + {\mathit{\;contaxios}} - {\mathit{recuperaci\'o ns}} \end{equation*}$

Xa calculamos antes o número de contaxios. Fáltanos calcular cantos dos I infectados se recuperan de media cada día. En media cada un dos infectados recupérase despois de DM días. A súa taxa de recuperación diaria é 1/DM e a dos I infectados é por iso I/DM individuos diarias: recuperacións = I/DM

Entón a taxa de cambio de I é

(4) $\begin{equation*} \frac{{dI}}{{dt}} = I\cdot \mathit{TI}\cdot{\rm{\;}}\frac{S}{N}\cdot \mathit{PC} - {\rm{\;}}\frac{I}{{\mathit{DM}}} \end{equation*}$

Nunha folla de cálculo usamos para o cambio diario en I :

(5) $\begin{equation*} {I_{{\rm{d\'i a\;}}i}} - {I_{{\rm{d\'i a\;}}i - 1}} = {I_{{\rm{dia\;}}i - 1}}\cdot \mathit{TI}\cdot{\rm{\;}}\frac{{{S_{{\rm{dia\;}}i - 1}}}}{N}\cdot \mathit{PC} - \frac{{{I_{{\rm{dia\;}}i - 1}}}}{\mathit{DM}} \end{equation*}$

Taxa de variación do estado Recuperados no tempo

O número de recuperados é cero inicialmente, pero aumenta na medida que os infectados se recuperan. “R aumenta cada día polo número de recuperacións”:

(6) $\begin{equation*} \frac{{dR}}{{dt}} = + {\rm{\;recuperaci\'o ns}} = \frac{I}{\mathit{DM}} \end{equation*}$

Nunha folla de cálculo:

(7) $\begin{equation*} {R_{{\rm{d\'i a\;}}i}} - {R_{{\rm{d\'i a\;}}i - 1}} = \frac{{{I_{{\rm{dia\;}}i - 1}}}}{\mathit{DM}} \end{equation*}$

Como asumimos unha poboación N constante, o sumatorio destas taxas será igual a cero.

→ Comproba que d(S+I+R)/dt = 0

Con estas tres taxas de variación xa podemos calcular o número de sensibles, infectados e recuperados ao longo da epidemia. Empezamos cos números de S, I e R do primeiro día (t = 0: S₀ = N -1, I₀ = 1, R₀ = 0), calculamos as taxas de variación do día seguinte e sumámolas ou restámolas aos valores do día anterior. Así avanzamos día por día cubrindo todo o intervalo de tempo que nos interesa. O que facemos con isto é “integrar” (= sumar) as tres “ecuacións diferenciais” 1,3 e 6 das taxas de variación partindo dos números S₀, I₀ e R₀ iniciais.

→ Sabes explicar o cambio nas curvas da poboación? Por que volve baixar o número de infectados despois do incremento inicial tan rápido?

É moi fácil programar o modelo SIR nunha folla de cálculo para simular o desenvolvemento dunha enfermidade como nas seguintes figuras:

Figura 1. Número de persoas sensibles, infectados e recuperados durante un ano dunha epidemia segundo o modelo SIR (DM = 14 días, TI = 2.5 persoas, PC= 8%, e cos números iniciais S₀ = 99.999, I₀ = 1, R₀ = 0).

Figura 2. Número de persoas contaxiadas e recuperadas diariamente (Taxas de variación) durante un ano dunha epidemia segundo o modelo SIR (DM = 14 días, TI = 2.5 persoas, PC= 8%, e cos números iniciais S₀ = 99.999, I₀ = 1, R₀ = 0).

Análise do modelo ↑

Imos calcular agora uns indicadores do modelo SIR para responder as seguintes preguntas: Cantas persoas enferman? Cantas se manteñen sensibles, sen infectar? Cal é o número máximo de contaxios nun día? Cal é o valor do famoso número de reprodución básica R₀? Como cambia o número de reprodución R co tempo?

Algúns dos indicadores son fáciles de determinar na folla de cálculo:

→ Como calcularías estes indicadores na folla de cálculo?

Poboación total contaxiada a suma de todos os contaxios (+ I₀)

Poboación total recuperada a suma de todos os recuperados

Poboación non afectada o número total N menos o total de contaxiados

Máx. poboación infectada simultánea o valor máximo de I

Máx. contaxios diarios o valor máximo dos contaxios

Máx. recuperacións diarias o valor máximo das recuperacións

Outros indicadores calculámolos directamente dos parámetros DM, TI, PC do modelo:

→ Explica a fórmula de cada indicador!

A taxa media de recuperación = 1/DM é a parte dos infectados que se recuperan cada día. Xa vimos antes que esta taxa é o inverso da duración media da enfermidade.

O número de contactos = TI·S/n·DM é o número de contactos entre un infectado e sensibles durante toda a duración da súa enfermidade.

O número de reprodución R_r = TI·S/n·DM·PC (= número de contactos · PC) é o número de contaxios que produce un infectado durante a duración da súa enfermidade. (É igual ao número de contaxios diarios que xa vimos arriba pola duración da enfermidade DM ou como o número de contactos pola probabilidade de contaxio PC). Este é o famoso “número reprodutivo R” que se usa para avaliar o ritmo dunha epidemia. Para que o número de infectados non siga crecendo, o seu número debe ser menor de 1. (Usamos aquí o subíndice r en R_r para non confundilo co número de recuperados R. Na prensa indícase como R.)

O número de reprodución básica R₀ = TI·S₀/N·DM·PC ≈ TI·DM·PC é o número de reprodución R ao principio dunha infección, cando practicamente toda a poboación está aínda sensible S₀ ≈ N.

→ Podes demostrar que un número de reprodución R_r menor de 1 frea unha epidemia? Fíxate en que a taxa de variación dos infectados depende tanto dos contaxios como das recuperacións diarias. En que situación diminúe o número de infectados?

Veremos por que queremos que R_r sexa menor de 1: sabemos da ecuación 4 que a taxa de cambio dos infectados depende da diferenza entre os contaxios e recuperacións diarios: $\frac{{dI}}{{dt}} = {\mathit{contaxios}} - {\mathit{recuperaci\'o ns}}$ . Para que o número de infectados diminúa esta taxa debe ser negativa, é dicir, que o número de contaxios debe ser menor que e número de recuperacións: contaxios< recuperacións.

E se dividimos entre o número de recuperacións obtemos a condición para que se free a epidemia:

${R_r} = \frac{\mathit{contaxios}}{\mathit{recuperaci\'o ns{\rm{\;}}}} < {\rm{\;1}}$

Coa ecuación 4 obtemos:

(8) $\begin{equation*} \frac{{dI}}{{dt}} = I\cdot \mathit{TI}\cdot{\rm{\;}}\frac{S}{N}\cdot \mathit{PC} - {\rm{\;}}\frac{I}{\mathit{DM}} < 1\;\;\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{\;\;} \;\;\;\;\;{R_r} = \frac{{I\cdot \mathit{TI}\cdot{\rm{\;}}\frac{S}{N}\cdot \mathit{PC}}}{{1/\mathit{DM}}} < 1 \end{equation*}$

Se reordenamos obtemos a mesma definición do número de reprodución R_r de antes:

(9) $\begin{equation*} {R_r} = \mathit{TI}\cdot{\rm{\;}}\frac{S}{N}\cdot \mathit{PC}\cdot \mathit{DM} < 1 \end{equation*}$

No modelo SIR o número de reprodución R_r indica directamente a relación entre contaxios e recuperacións diarios. Ten así unha interpretación moi sinxela: se hai máis contaxios que recuperacións ao día (R_r>1) entón a epidemia segue crecendo! O número de infectados soamente remite se R_r é menor ca un.

Se comparamos o seguinte gráfico de R_r co número de infectados na Figura 1 vemos que R_r é maior que 1 mentres aumenta I e baixa de 1 en canto I diminúa. R_r é 1 o día do número máximo de contaxiados, xusto cando o cambio se fai cero (unha pendente cero no máximo – sóache?).

Figura 3. Número reprodutivo (R_r) ao longo dunha epidemia segundo o modelo SIR (DM = 14 días, TI = 2.5 persoas, PC= 8 %, e cos números iniciais S₀ = 99.999, I₀ = 1, R₀ = 0).

Figura 4. Número reprodutivo (R_r) durante a epidemia COVID-19 en España, Italia, Corea do Sur, China, Francia, R. Unido e Alemaña. (El Pais, 8/5/2020)

O modelo SIR nunha folla de cálculo ↑

As follas de cálculo como en Microsoft Excel ou LibreOffice Calc son excelentes ferramentas para moitos tipos de cálculos tanto profesionais como da vida cotiá. Merece a pena aprender e practicar o seu uso!

Veremos nesta actividade que é moi fácil calcular cunha folla de cálculo cantas persoas estarán nos estados S, I e R ao longo do tempo, representar os gráficos e analizar diferentes escenarios e epidemias. Mesmo podemos introducir as medidas de mitigación que todos coñecemos como o confinamento e ver que efecto teñen. Non fai falta ningún coñecemento avanzado das follas de cálculo e explicaremos paso a paso como usar a folla xa programada.

Necesitamos o ficheiro Modelo epidemia_SRI_XuvenCiencia.ods programado en LibreOffice Calc, pero podes abrilo tamén en Excel.

Se queres ver como se programan este tipo de follas segue o excelente vídeo de “Excel Avanzado – RP V” no que se basea tamén o noso cálculo. Non é exactamente a mesma folla, pero seguro que non terás problemas en programar as ecuacións que vimos arriba. Nós asignarémoslles ademais nomes ás celas dos parámetros e introducimos as medidas de corrección e o cálculo do número reprodutivo R e do tempo de duplicación.

Ao abrir o arquivo atopades unha soa folla de cálculo “Modelo S-I-R” con diferentes zonas para os cálculos e os valores dos parámetros e a análise:

Tempo: o tempo en días do 1 ao 365 para un ano enteiro.

Poboación: os números de sensibles, infectados e recuperados, S, I e R.

Taxa de variación: o número de contaxios e recuperacións diarias.

Medidas: medidas de corrección para reducir o efecto da epidemia.

Parámetros: os valores dos parámetros do modelo e da análise.

Indicadores: valores de indicadores.

Figuras: gráficos da poboación, taxas de variación, indicadores etc.

→ Cambia os valores dos parámetros e observa as figuras. Podes reducir o número de infectados? En que condicións non se desenvolve unha epidemia?

Figura 5. O modelo SIR na folla de cálculo Modelo epidemia_SRI_XuvenCiencia.ods.

Actividades.- Predicións do modelo SIR para diferentes escenarios ↑

Imos usar o noso modelo SIR para comparar o desenvolvemento de diferentes epidemias e tamén ver como lles afecta o confinamento da poboación.

Na introdución vistes algunhas das epidemias históricas. Non é fácil conseguir valores fiables dos parámetros do modelo SIR para estas epidemias, pero na seguinte táboa recollemos uns parámetros típicos para as enfermidades que as causaron. Son valores aproximados, recollidos da bibliografía e adaptados ao noso modelo SIR sinxelo:

Enfermidade ou epidemia	DM (días)	TI	PC	*TI · PC^a*	R₀
COVID-19	14^e	2,5^b,e	8%^b,e	(0,2)	1,5 – 3^b,e
SARS	14^f	2,5	10%^f	(0,25)	2,7^d – 3,6^d
Varíola	24^g	0,5	60%^g	(0,3)	4^d – 10^d
Sarampelo	8^h	1,9^h	90%^h	1,7^c	12^c -18^b
Ébola	9ⁱ	–	–	(0,3)	2 – 3^b
Gripe (Influenza)	7^c	–	–	0,29^c	1,9^c – 3^b

Notas:
^aEn moitas fontes soamente se indica a taxa de transmisión β = TI·PC. No cálculo das poboacións usamos sempre este mesmo produto TI·PC. En caso de non dispor dos valores separados de TI e de PC podemos elixir TI = 1 e PC = TI·PC para obter un resultado correcto.
^b http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/2020/03/28/147534
^c http://www.pandemsim.com/data/index.php/make-your-own-sir-model/
^dhttps://web.stanford.edu/~jhj1/teachingdocs/Jones-Epidemics050308.pdf
^e Información científico-técnica, doenza por coronavirus, COVID-19 17.04.2020, https://www.mscbs.gob.es/profesionales/saludPublica/ccayes/alertasActual/nCov-China/documentos/20200417_ITCoronavirus.pdf
^f SARS: https://apps.who.int/iris/bitstream/handle/10665/70863/WHO_CDS_CSR_GAR_2003.11_eng.pdf https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3323341/pdf/03-0647.pdf
^g Varíola: https://www.cdc.gov/smallpox/symptoms/index.html
^h Sarampelo: https://www.cdc.gov/measles/hcp/index.html
ⁱ Ébola: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2214999615000107, https://www.who.int/news-room/fact-sheets/detail/ebola-virus-disease

→ Resolve as seguintes tarefas utilizando os datos da táboa anterior.

Tarefa 1.– Partindo dos parámetros da COVID-19, compara o desenvolvemento da epidemia cambiando os valores dos parámetros nun ou outro sentido. Responde ás seguintes preguntas:

Como cambia a poboación total contaxiada se reducimos ou aumentamos a taxa de interacción diaria?
Canto temos que baixar a taxa de interacción para reducir o número de reprodución R₀ debaixo de 1 e así frear a epidemia?
Que é peor, unha duración de enfermidade longa ou curta?
Se o 1% dos infectados necesitan hospitalización, cantas camas temos que ter preparadas nos hospitais para poder facerlle fronte á demanda?
Se non temos camas de hospital abondas, que podemos facer para reducir a demanda de camas (“aplanar a curva”)?

Tarefa 2.– Usa o modelo SIR da folla de cálculo para determinar os indicadores importantes para as diferentes enfermidades da táboa anterior. Apunta os indicadores na seguinte táboa. Compara os resultados. Que diferenza hai entre as enfermidades?

Enfermidade ou epidemia	Poboación total contaxiada	Poboación total recuperada	Poboación non afectada	Máx. poboación infectada simultánea	Máx. contaxios diarios	Máx. recuperacións diarias
COVID-19
SARS
Varíola
Sarampelo
Ébola
Gripe (Influenza)

Medidas de mitigación ↑

O noso modelo SIR permite aplicar o confinamento da poboación susceptible como medida de mitigación da epidemia. Para non complicar o modelo limitámonos a substituír en todas as fórmulas a taxa de interacción TI polo produto entre TI e un factor de interacción (FI): TI → TI·FI. Este factor indica o grao de interacción entre as persoas durante o confinamento. Un valor de FI = 100% corresponde a unha taxa de interacción normal, sen redución. Un valor de FI = 10% indica que durante un confinamento redúcense as interaccións ao 10 % do valor normal.

Este factor de interacción FI defínese día por día na columna “Confinamento”. Para aplicar un confinamento ao 10% desde o día 50 ao día 80, cambiamos o valor das celas correspondentes de 100% a 10%.

Figura 6: Esquerda: Un factor de interacción reducido durante o confinamento. Dereita: Poboacións SIR co confinamento. Compara coa Figura 1. (DM = 14 días, TI = 2.5 persoas, PC= 8 %, e cos números iniciais S₀ = 99.999, I₀ = 1, R₀ = 0)

Tarefa 3.– Investiga o efecto do confinamento sobre o desenvolvemento dunha epidemia, por exemplo, a COVID-19. Compara os indicadores con e sen confinamento durante certo tempo. Conseguimos frear a epidemia co confinamento? Que pasa cando se levanta o confinamento? Propón unha estratexia para mitigar o efecto da epidemia. Que fases de confinamento propós?

Figura 7: Número de reprodución efectivo (R) en España desde o 25 de febreiro ata o 12 de abril de 2020. (Información científica-técnica. Enfermidade por coronavirus, COVID-19, https://www.mscbs.gob.es/profesionales/saludPublica/ccayes/alertasActual/nCov-China/documentos/20200417_ITCoronavirus.pdf)

Epidemias no pasado ↑

Existiron moitas enfermidades que provocaron epidemias con alta mortalidade na historia da humanidade. Podemos sinalar algunha delas:

Atenas, ano 430 a.C. Durante as guerras do Peloponeso, Atenas sufriu unha enfermidade que matou un elevado número de persoas. Non se sabe exactamente cal foi o axente causal, pero podería tratarse da peste bubónica —Yersinia pestis— ou do tifo —Rickettsia spp—. As persoas contaxiábanse ao coidar a outros. Os atenienses aprenderon que as aglomeracións na cidade propagaban a enfermidade e houbo que cambiar todos os costumes —ata os funerais se viron afectados…—. Con todo, esta epidemia non pasou a ser unha pandemia, por que non saíu da península grega. Como curiosidade, Pericles morreu nesta epidemia.
Peste antonina, 165-180 d.C. Posiblemente foi un brote de varíola que afectou o exército romano en Oriente —Exipto ou Iraq—, e converteuse en pandemia polos movementos do deste, que propagou a enfermidade por todo o Imperio, provocando entre 5 e 7 millóns de mortos, entre eles un número elevado de soldados do exército imperial.
Praga de Xustiniano, 541-543 d.C. Foi a primeira epidemia da peste bubónica rexistrada en documentos históricos. A epidemia comezou en África, a través das rutas comerciais chegou a Exipto e de aí ao imperio bizantino. A través do Mediterráneo e os seus portos estendeuse cara ao norte ata Gran Bretaña e Irlanda, onde estivo presente ata o ano 548.
Peste negra, S XIV, fundamentalmente 1347-1353. O brote de peste bubónica, iniciado en Asia, converteuse nunha pandemia pola súa propagación a través das rutas comerciais e afectou toda Europa. A bonanza climática, e as colleitas correspondentes, permitiran un aumento da poboación europea ata uns 80 millóns de persoas, das que morreron, dependendo das fontes consultadas, entre 25 e 50 millóns.

A praga de Florencia en 1348, descrita por Boccaccio. https://wellcomeimages.org/indexplus/image/L0004057.html

Varíola. Esta enfermidade, da que por exames sobre momias e cadáveres sabemos que afectou ao ser humano desde hai milleiros de anos, tivo dous puntos críticos. En 1520 xerou un brote epidémico en América, levada polos colonizadores españois, e provocou unha diminución de ata un 90% dalgunhas das poboacións autóctonas, que ata ese momento non entraran en contacto co virus. O segundo brote de grande importancia apareceu en Europa no século XVIII. O aumento da poboación facilitou a transmisión da enfermidade e a alta mortalidade, de arredor do 30%. A primeira vacina que se desenvolveu na historia dirixiuse contra ela, e o seu uso continuo ao longo do tempo permitiu que non aparecese ningún caso desde 1977 e que se considere erradicada desde 1980. Sobre a inmunización da poboación a través da variolización, merece a pena consultar o artigo “La viruela y Fray Chaparro” (https://arsmedica.cl/index.php/MED/article/view/229).
Gripe española, 1918-1920. Aínda que a súa orixe estivo nos EE.UU. recibiu este nome porque moitos dos países afectados censuraban as noticias sobre os mortos e infectados, ao estaren en guerra (I Guerra Mundial) ou recuperándose dela. Pola contra, España, que fora neutral nesa guerra, informaba puntualmente sobre a incidencia da epidemia. En total calcúlase que provocou ao redor de 40 millóns de mortos no mundo. O axente, virus Influenza A H1N1.

Hospital Base, Camp Jackson, Carolina do Sur. Epidemia de gripe (1918). Imaxe orixinal do National Museum of Health and Medicine. https://www.rawpixel.com/image/2298592 Licencia CC0

Existen ou existiron outras pandemias con diferente importancia en número de afectados e mortos; algunhas non as consideramos como tal, ao dispormos de vacinas que nos protexen, como o sarampelo, que ao longo da súa historia patolóxica provocou millóns de mortos. Outras, tampouco son consideradas nestes momentos como importantes, ao dispor de tratamentos efectivos, como é o caso da SIDA, con 80 millóns de afectados e 39 millóns de mortos. As últimas foron os coronavirus de orixe animal, como SARS —774 mortos— e MERS —858 mortos—. Na pandemia que sufrimos agora mesmo, COVID-19, nestes momentos, 16 de maio de 2020, danse por confirmados 4.554.798 casos e 307.903 mortos.

Glosario ↑

Brote epidémico ou epidemia: aparición repentina dunha enfermidade debida a unha infección nun lugar específico como nunha vila ou nunha pequena área.^a

Pandemia: afectación dunha enfermidade infecciosa dos humanos ao longo dunha área xeograficamente extensa.^a

Epidemioloxía: ciencia que estuda o comportamento das enfermidades nas poboacións.

Epidemioloxía matemática: parte da epidemioloxía que usa modelos matemáticos para analizar as enfermidades infecciosas.

Modelo matemático: descrición dun sistema ou unha situación real que usa conceptos matemáticos. Permite estudar comportamentos de sistemas complexos ante situacións difíciles de observar na realidade.^a

Modelo SIR: modelo matemático dunha epidemia no que as persoas (ou animais) pasan do estado Sensibles a Infectados a Recuperados. É a base de moitos modelos complexos que se usan para analizar epidemias como a COVID-19.

Resistencia, inmunidade: xérase como resposta contra o organismo patóxeno, mediando a memoria inmunolóxica, un mecanismo que se desenvolve no primeiro encontro co microbio e créase memoria para despois ser capaz de recoñecelo e reaccionar rapidamente.^a

Medidas de mitigación: medidas non farmacéuticas de control das infeccións, co obxectivo de deter ou desacelerar a propagación dunha enfermidade contaxiosa,^a como por exemplo o distanciamento persoal, medidas de hixiene etc.

Variolización: técnica que se aplicaba antes da invención da vacina da varíola. Consiste en facer unha incisión na pel do individuo e pórlle o po das bostelas de varíola, despois pechábaselle a incisión e deixábase a persoa illada das demais ata que a enfermidade a atacase de maneira leve, ata lograr a súa recuperación.^a

^a Fonte: Wikipedia en español

Autores:

Ceferino M. López Sández.
Departamento de Patoloxía Animal. Facultade de Veterinaria. Campus de Lugo
Universidade de Santiago de Compostela.

Wajih Al-Soufi
Departamento de Química Física. Facultade de Ciencias. Campus de Lugo
Universidade de Santiago de Compostela

ONDE PODEMOS OBTER INFORMACIÓN? ↑

O concepto teórico sobre o modelo SIR e outros pode ser examinado en Hethcote (2000, https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/s00361445003719 0 7) e ver o seu desenvolvemento matemático en https://youtu.be/NKMHhm2Zbkw. Para ver unha animación baseada en Python https://youtu.be/gxAaO2rsdIs (todo en inglés).

Un exemplo dun modelo profesional moito máis complexo atopádelo en http://covidsim.eu/. Está en inglés pero podedes traducir a páxina en Chrome e Google. Probade cambiar o confinamento en “Interventions” – “General Contact Reduction”.

Máis referencias:

https://royalsocietypublishing.or g /doi /10.1098/rspa.1927.0118

https://www.lewuathe.com/covid-19-dynamics-with-sir-model.html

https://ddd.uab.cat/pub/matmat/matmat_a2013/matmat_a2013a3.pdf

https://mathworld.wolfram.com/Kermack-McKendrickModel.html

https://kinglab.eeb.lsa.umich.edu/480/nls/de.html

https://archives.aidanfindlater.com/blog/2010/04/20/the-basic-sir-model-in-r/

http://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/6852_c59c5a2e8ea3456abbeb017185de603e.html

↑

Categorías: COVID-19, Xeral
Etiquetas: #QuedanaCasa, Covid-19, epidemioloxía, epidemioloxía matemática, pandemia, SIR, XuvenCiencia

2 Responses

Miguel Leiva Torreiro di:

28/05/2020 ás 12:04 a.m.

Paréceme moi interesante esta actividade que se está a desenvolver cos xoves. Nada mellor que divulgar ciencia para facer que a xente pense e sexa máis libre. Moitas grazas a todos os que facedes estas cousas tan ben feitas.
Fai uns días topei cun modelo alternativo ao SIR que é bo de entender e que parece axeitado para determinar certos parámetros cando cambian as circunstancias que modifican a propagación dunha epidemia. Se alguén que lea isto está interesado/a en velo, pois está nesta dirección:

https://fonte.es/A-CIENCIA/2020-04-04~Matematicas_para_una_epidemia_-_Propagacion_del_SARS-CoV-2.html

Gustaríame ter unha crítica do mesmo porque non sei se facerlle caso ou non.
Grazas.

Responder
1. Xuvenciencia di:
  
  28/05/2020 ás 11:10 p.m.
  
  Ola Miguel, encántanos que che guste o noso blog!
  A unidade didáctica pretende introducir o modelo SIR ao alumnado e invitar a experimentar con el na folla de cálculo. É un modelo clásico ben documentado que axuda a comprender os conceptos básicos deste tipo de modelos e o significado dos parámetros, curvas e indicadores que vemos na prensa nestes días. O alumnado tamén verá cales son as limitacións deste modelo e que a realidade é moito mais complexa.
  O modelo que mencionas no teu comentario é unha das infinitas posibilidades de ampliar e complicar este tipo de modelos para ter en conta determinados aspectos dunha epidemia real.
  O que é importante comprender es que ningún modelo, o complexo que sexa, pode predicir o futuro dunha epidemia real con seguridade. O feito que axuste ben os datos do pasado non asegura que o vai facer para o futuro. Como ben din Saúl Ares e Anxo Sánchez no programa de radio Efervesciencia (Modelos matemáticos e COVID con Saúl Ares e Anxo Sánchez), predicir o futuro dunha epidemia é como a predición do tempo – só é unha información de probabilidades, e nin a NASA pode predicir o tempo como acabamos de ver no aprazado lanzamento da SpaceX Crew Dragon!
  A modelación dunha epidemia é cousa de equipos de expertos na materia que comparan moitos modelos diferentes con múltiples variantes para buscar tendencias nas predicións.
  
  Invítoche a estudar co alumnado o efecto que ten unha maior ou menor taxa de interacción sobre a epidemia, ou o que pasa se acelera a desescalada. O SIR dará respostas cualitativamente correctas e axuda a comprender as tendencias. E isto xa é un gran paso!
  
  Saúdos!
  
  Responder

Deixa unha resposta Cancelar a resposta

Artigos recentes

Arquivo

Comentarios recentes

Xuvenciencia en Modelos matemáticos para enfermidades transmisibles. O modelo SIR
Miguel Leiva Torreiro en Modelos matemáticos para enfermidades transmisibles. O modelo SIR
Xuvenciencia en Curvas e máis curvas – entender os gráficos da pandemia
María Freire. en Curvas e máis curvas – entender os gráficos da pandemia
Xuvenciencia en Estudantes do campus de Lugo súmanse a Coronavirus Makers para crear material sanitario

Modelos matemáticos para enfermidades transmisibles. O modelo SIR

Como predicimos o desenvolvemento dunha pandemia como a da COVID-19? Analiza e compara distintas epidemias ao longo da historia da humanidade

Por: Ceferino M. López Sández, Wajih Al-Soufi

Unidade didáctica para alumnado de secundaria

Contido

Os modelos matemáticos das epidemias

Factores que se utilizan nos modelos matemáticos

O modelo SIR ↑

Que nos ofrece un modelo SIR?

Taxa de variación do estado Sensibles no tempo

Taxa de variación do estado Infectados no tempo

Taxa de variación do estado Recuperados no tempo

Análise do modelo ↑

O modelo SIR nunha folla de cálculo ↑

Actividades.- Predicións do modelo SIR para diferentes escenarios ↑

Medidas de mitigación ↑

Epidemias no pasado ↑

Glosario ↑

ONDE PODEMOS OBTER INFORMACIÓN? ↑

↑

2 Responses

Deixa unha resposta Cancelar a resposta

Categorías

Artigos recentes

Arquivo

Comentarios recentes